Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0．

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

（2）若a是从区间[0，3]上任取的一个实数，b是从区间[0，2]上任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先用列举法求得基本事件的总数，根据判别式为非负数求得的关系式，由此判断出符合题意的事件有个，进而求得所求的概率.（2）判别式为非负数求得的关系式，画出全部结果所构成的区域，利用几何概型的计算公式，计算出所求的概率.

（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，

则基本事件共12个，分别为：

（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），

（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）．

设事件A为“方程x2+ax+b2=0有实根”，则判别式Δ=a2–4b2≥0，即a≥2b，

若a=0，则b=0；若a=1，则b=0；

若a=2，则b=0或b=1；若a=3，则b=0或b=1．

共包含6个基本事件，则所求的概率P1=．

（2）记事件B为“方程x2+ax+b2=0有实根”．由Δ=a2–4b2≥0，且非负，得a≥2b，

全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，其面积为S=3×2=6．

构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥2b}，

则D（3，），其面积为S′=×3×=，

所以所求的概率P2==．