Question

【题目】已知函数，

（1）当时，证明：函数不是奇函数；

（2）判断函数的单调性，并利用函数单调性的定义给出证明；

（3）若是奇函数，且在时恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，，因为，，

所以，故不是奇函数； ……………………………………4分

（Ⅱ）函数在上为单调增函数， ………………………………………… 6分

证明：设，则……… 8分

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故。

∴函数在上为单调增函数。…………………………………………………10分

（Ⅲ）因为是奇函数，所以对任意恒成立。

即对任意恒成立．

化简整理得对任意恒成立． ∴…………………12分

又因为在时恒成立，

所以在时恒成立，

令，设，且，

则

由（Ⅱ）可知，，又，

所以，即，

故函数在上是增函数。………………………14分

所以，由。

因此的取值范围是。 ………………………………………………16分

【解析】试题分析：（1）举个反例，使得f（-a）≠-f（a）即可；（2）利用函数的单调性进行证明即可，注意指数函数y=2x性质的运用；（3）先根据题意求出a的值，然后f（x）≥x2-4x+m在x∈[-2，2]时恒成立，将式子变形为f（x）-（x2-4x）≥m在x∈[-2，2]时恒成立即可，在研究左边函数的单调性，求出其最小值即可

试题解析：（1）当时，，因为，，

所以，故不是奇函数；

（2）函数在上为单调增函数，

证明：设，则

∵，∴，，且

又∵，∴

∴，故

∴函数在上为单调增函数

（3）因为是奇函数，所以对任意恒成立。

即对任意恒成立．

化简整理得对任意恒成立． ∴

因为在时恒成立，

令，设，且，

则

由（2）可知，，又，

所以，即，

故函数在上是增函数 (直接判断出单调性也给分)

所以，由

因此的取值范围是