Question

【题目】已知f（x）=sin2（2x﹣ ）﹣2tsin（2x﹣ ）+t2﹣6t+1（x∈[ ， ]）其最小值为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）当﹣ ≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x∈[ ， ]，

∴sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴f（x）=[sin（2x﹣ ﹣t]2﹣6t+1，

当t＜﹣ 时，则当sinx=﹣ 时，f（x）min= ；

当﹣ ≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；

当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；

∴g（t）=

（2）解：当 时，g（t）=﹣6t+1．令h（t）=g（t）﹣kt．

欲使g（t）=kt有一个实根，则只需使 或 即可．

解得k≤﹣8或k≥﹣5．

【解析】（1）利用x的范围确定sin（2x﹣ ），对函数解析式化简整理，对t进行分类讨论，利用抛物线的性质求得每种情况的g（t）的解析式，最后综合．（2）根据（1）中获得当 时g（t）的解析式，令h（t）=g（t）﹣kt，要使g（t）=kt有一个实根需h（﹣ ）和h（1）异号即可．
【考点精析】关于本题考查的三角函数的最值，需要了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能得出正确答案．