Question

【题目】如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，侧面侧面是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）在线段上是否存在一点，使二面角为45°，若存在，求的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明平面；（2）根据线面垂直的判定定理即可证明平面；（3）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．

试题解析：（1）证明：连接与相交于，则为的中点，连接，

因为为的中点，所以．

因为平面平面，

所以平面

（2）证明：，在中，．

因为，所以，

因为侧面侧面，侧面侧面，

平面，所以平面

（3）解：

两两互相垂直，建立空间直角坐标系，

假设在线段上存在一点，使二面角为，

平面的法向量，设，．

所以，

设平面的法向量为，

则，所以，

令，得，所以的法向量为．

因为，所以，解得，故，

因此在线段上存在一点，使二面角为，且