Question

【题目】已知函数， .

（1）求函数的极值；

（2）当时，若存在实数， 使得不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）.

【解析】试题分析：

(1)对函数求导，分类讨论可得极小值，无极大值；

(2) 结合题意分类讨论和，两种情况可得实数的取值范围是.

试题解析：

（1）由题意得， ，

，

①当时，则，此时无极值；

②当时，令，则；令，则；

在上递减，在上递增；

有极小值，无极大值；

（2）当时，有（1）知， 在上递减，在上递增，且有极小值，

①当时， ， ，

此时，不存在实数， ，使得不等式恒成立；

②当时， ，

在处的切线方程为，

令， ，

则， ，

令 ， ，

则，

令，则；令，则；

， ，

，

当， 时，不等式恒成立，

符合题意；

由①，②得实数的取值范围为.