Question

【题目】双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2渐近线分别为l1 ， l2 ， 位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1 ， l2∥PF2 ， 则双曲线的离心率是（ ）
A.
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 渐近线分别为l1 ， l2 ， 点P在第一 象限内且在l1上，
∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），
渐近线l1的直线方程为y= x，渐近线l2的直线方程为y=﹣ x，
∵l2∥PF2 ， ∴ ，即ay=bc﹣bx，
∵点P在l1上即ay=bx，
∴bx=bc﹣bx即x= ，∴P（ ， ），
∵l2⊥PF1 ，
∴ ，即3a2=b2 ，
∵a2+b2=c2 ，
∴4a2=c2 ， 即c=2a，
∴离心率e= =2．
故选C．
由双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 渐近线分别为l1 ， l2 ， 点P在第一 象限内且在l1上，知F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），由渐近线l1的直线方程为y= x，渐近线l2的直线方程为y=﹣ x，l2∥PF2 ， 知ay=bc﹣bx，由ay=bx，知P（ ， ），由此能求出离心率．