Question

【题目】已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)已知, (其中是自然对数的底数), 求证：.

Answer 1

【答案】(1) 增区间是(0,e), 减区间是；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）函数的定义域为，求解导函数可得，

利用导函数与原函数的单调性的关系可得f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.

（2）利用分析法，由于，则两边取对数，原问题等价于证明:，即.结合(1)中函数的单调性可得该不等式明显成立，故原命题得证.

试题解析：

（1）函数的定义域为，且，

∴当时,, ∴函数在上是单调递减.

当0<x<e时,, ∴函数在(0,e)上是单调递增.

∴f(x)的增区间是(0,e), 减区间是.

（2）∵∴要证: ，

只需两边取对数证明:.

只需证. (∵)，

由（1）得函数在上是单调递减.

∴当时,有，即. 原命题得证.