Question

【题目】已知函数，若函数的图象关于直线x＝－对称，且.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数在区间[－3，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】(1) a＝3，b＝－12；(2)-6.

【解析】试题分析：

(1)由函数的解析式可得f′(x)＝6x2＋2ax＋b，结合二次函数的性质可得，结合f′(1)＝0可得b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，则f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

据此即可确定函数的单调性和极值，求解函数值可得f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.

试题解析：

(1)f′(x)＝6x2＋2ax＋b，函数y＝f′(x)的图象的对称轴为x＝－.

∵－＝－，∴a＝3. ∵f′(1)＝0，∴6＋2a＋b＝0，得b＝－12.

故a＝3，b＝－12.

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．

x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

∵f(－3)＝10， f(1)＝－6, ∵10 >5>－6，.

∴所以f(x)在[－3，2]上的最小值为－6.