Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．
（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=5时，f（x）=log2（ +5），

由f（x）＞0；得log2（ +5）＞0，

即 +5＞1，则 ＞﹣4，则 +4= ＞0，即x＞0或x＜﹣ ，

即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣ }

（2）

解：由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（ +a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．

即log2（ +a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，

即 +a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①

则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，

即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，

当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立

当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x= ，

若x=﹣1是方程①的解，则 +a=a﹣1＞0，即a＞1，

若x= 是方程①的解，则 +a=2a﹣4＞0，即a＞2，

则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．

综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．

（3）

解：函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，

由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，

即log2（ +a）﹣log2（ +a）≤1，

即 +a≤2（ +a），即a≥ ﹣ =

设1﹣t=r，则0≤r≤ ，

= = ，

当r=0时， =0，

当0＜r≤ 时， = ，

∵y=r+ 在（0， ）上递减，

∴r+ ≥ ，

∴ = = ，

∴实数a的取值范围是a≥ ．

【解析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．
（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．
（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．
本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．