Question

（本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

Answer 1

解：（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b．
再由已知得解得………………………………4分
故函数v（x）的表达式为
………………………………6分
（2）依题意并由（1）可得
……………………………8分
当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分
当20≤x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤²＝．……………10分
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f（x）在区间[20,200]上取得最大值．……………11分
综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
………12分

解析