Question

【题目】已知函数在时取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）是否存在区间，使得在该区间上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由已知得，根据可得或．然后根据极值定义进行分别验证：当时， 在上为减函数，在上为增函数，符合题意；当时， 在上为增函数，在上为减函数，不符合题意．（2）由区间定义知，因为，所以．下面根据所在区间位置关系进行讨论：结合得 ① 若，则，因为，所以．有唯一解为．② 若，则，即或．根据对应函数单调性知不存在满足条件的．

试题解析：（1），

由题意知，解得或． 2分

当时， ，

易知在上为减函数，在上为增函数，符合题意；

当时， ，

易知在上为增函数，在上为减函数，不符合题意．

所以，满足条件的． 5分

（2）因为，所以． 7分

① 若，则，因为，所以． 9分

设，则，

所以在上为增函数．

由于，即方程有唯一解为． 11分

② 若，则，即或．

（Ⅰ）时， ，

由①可知不存在满足条件的． 13分

（Ⅱ）时， ，两式相除得．

设，

则，

在递增，在递减，由得， ，

此时，矛盾．

综上所述，满足条件的值只有一组，且． 16分