Question

【题目】如图,三棱柱中,,,平面平面，与相交于点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先菱形的性质推出，然后利用面面垂直的性质推出平面，从而根据线面垂直的性质使问题得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后分别求出相关点的坐标与向量，由此求得平面与平面法向量，从而利用空间夹角公式求解即可．

试题解析：（1）已知侧面是菱形，是的中点，∵，∴．

∵平面平面，且平面，平面平面，

∴平面，.

（2）如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知可得，，，，

∴，，，，，

设平面的一个法向量是，，

由，,

得，可得

∵平面平面，，∴平面，

∴平面的一个法向量是,

∴，即二面角的余弦值是.