Question

【题目】函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m（0＜m≤1）．
（1）若x∈[0，m]，证明：f（x）≤ ；
（2）求|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵0＜m≤1，∴f（x）的对称轴x= ∈[ ， ），

①0＜m≤ 时，函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m开口向下，在[0，m）函数是增函数，

∴f（x）≤f（m）=﹣m2+（3﹣2m）m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ；

②当 时，f（x）max=f（ ）= = ＜ ．

综上，f（x）≤ ；

（2）解：函数f（x）=﹣x2+（3﹣2m）x+2+m=﹣（x﹣ ）2+ ，

若0 ，则0＜2m≤1，f（x）的对称轴x= ∈[1， ），

则f（x）在[﹣1，1]上为增函数，

∵f（1）=4﹣m∈[ ），|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[ ，2）．

∴|f（1）|＞|f（﹣1）|，

∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（1）=4﹣m；

若 ＜m≤1，则1＜2m≤2，f（x）的对称轴x= ∈（ ，1]，

则f（x）在[﹣1，1]上先增后减，且最小值为f（﹣1）=3m﹣2，最大值为f（ ）=m2﹣2m+ ．

∵|f（﹣1）|=|3m﹣2|∈[0，1]，f（ ）=m2﹣2m+ = ．

∴|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）=f（ ）=m2﹣2m+ ．

综上，g（m）=

【解析】（1）求出二次函数的对称轴方程，由m的范围分类可得二次函数在[0，m]上的单调性，得到二次函数的最大值，由配方法证明f（x）≤ ；（2）分0 和 ＜m≤1两种情况求出函数f（x）在[﹣1，1]上的最值，再由最值的绝对值的大小求得|f（x）|在[﹣1，1]上的最大值g（m）．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．