Question

【题目】已知函数f（x）=2ax﹣2，g（x）=a（x﹣2a）（x+2﹣a），a∈R且a≠0．
（1）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求实数a的值；
（2）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

g（x）=a（x﹣2a）（x+a﹣2）=0得x=2a，x=2﹣a

∵{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，

∴

经检验a=1符合题意，∴a=1

（2）解法1：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R

当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意

当a＜0时，由f（x），g（x）的图象可得f（x）＜0或g（x）＜0成立则

∴

解法2：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R

当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意

当a＜0时，若f（x）＜0，则

若g（x）＜0，则x∈（2﹣a，+∞）∪（﹣∞，2a）

则

∴

综上

【解析】（1）通过方程的根，结合已知条件求解即可．（2）解法1：利用{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，通过当a＞0时，当a＜0时，结合函数的图象验证求解即可．解法2：由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，验证当a＞0时，不符合题意，当a＜0时，讨论若f（x）＜0，若g（x）＜0，推出结果即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的值的相关知识点，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．