Question

【题目】已知，设函数.

（1）当时，求的极值点；

（2）讨论在区间上的单调性；

（3）对任意恒成立时， 的最大值为1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是的极小值点，无极大值点;（2）见解析;（3）.

【解析】【试题分析】（１）先求导数，再解方程求导函数的零点；（２）运用导数与函数的单调性之间的关系分析探求；（３）先将不等式进行等价转化，再分离参数，构造函数运用导数知识求解：

（1）当时， ，∴，令，则，当时， ；当时， ，所以是的极小值点，无极大值点.

（2），

①当时， 在， 上单调递增；在上单调递减，

②当时， 在上单调递增.

③当时， 在， 上单调递增；在上单调递减

④当时， 在上单调递增，在上单调递减.

（3）∵， 。由得

对任意恒成立，即

对任意恒成立.

令， ，根据题意，可以知道的最大值为1，则 恒成立.

由于，则.

当时， ，令，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，则，∴在上单调递增.

从而，满足条件，故的取值范围是.