Question

【题目】已知圆和直线，直线， 都经过圆外定点．

（1）若直线与圆相切，求直线的方程；

（2）若直线与圆相交于两点，与交于点，且线段的中点为，

求证: 为定值．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）①当直线的斜率不存在，即直线是成立，②若直线斜率存在，设直线为，由圆心到直线的距离等于半径求解；（2）直线与曲线联立可得，根据韦达定理，弦长公式将

用 表示，消去 即可得结果.

试题解析：（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意．

②若直线斜率存在，设直线为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，

即： ,解之得 ．

所求直线方程是， ．

（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,

可设直线方程为

由 得．

再由

得．

∴ 得．

∴

为定值．

解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为

由 得． 8分

又直线CM与垂直，

由 得．

∴

，为定值．