Question

【题目】已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于， 两点.

（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（2）设点的坐标为，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）

【解析】试题分析：（1）将直线的点斜式方程（其中斜率为参数）代入椭圆方程，并设出交点A，B的坐标，消去Y后，可得一个关于X的一元二次方程，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数关系）易得A、B两点中点的坐标表达式，再由AB中点的横坐标是，，构造方程，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程．（2）由M点的坐标，我们易给出两个向量的坐标，然后代入平面向量数量集公式，结合韦达定理（一元二次方程根与系数关系），不难不求出的值．

试题解析:

(Ⅰ)依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入，消去整理得，

．

设， ，

则，

由线段中点的横坐标是，

得，

解得，适合（）．

所以直线的方程为，或．

(Ⅱ)①当直线与轴不垂直时，

由（I）知， ．（），

所以，

．

将（）代入，整理得：

，

．

②当直线与轴垂直时，

此时点， 的坐标分别为、，

此时亦有．

综上， ．