Question

【题目】已知正数数列{an}的前n项和为Sn ， 点P（an ， Sn）在函数f（x）= x2+ x上，已知b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若cn=anbn ， 求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）是否存在整数m，M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点P（an，Sn）在函数f（x）= x2+ x上，

∴Sn= + an，Sn﹣1= + an﹣1（n≥2），

两式相减，整理得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，

又∵an＞0，

∴an=an﹣1+1，

又∵S1= + a1，即a1=1，

∴数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，

∴an=n；

（2）解：∵b1=1，3bn﹣2bn﹣1=0（n≥2，n∈N*），

∴数列{bn}是首项为1、公比为 的等比数列，

∴ ， ，

∴ ，

Tn= +2× +…+n× ，

两式相减，得： Tn=1+ + +…+ ﹣n×

= ﹣n×

=3﹣（n+3）× ，

∴Tn=9﹣（3n+9）×

（3）解：结论：假设存在整数m、M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9．

理由如下：

由（2）知：Tn=9﹣（3n+9）× ＜9，

又∵Tn﹣1=9﹣[3（n﹣1）+9]× ，

∴Tn﹣Tn﹣1=（3n+6）× ﹣（3n+9）× =n× ＞0，

∴数列{Tn}是单调递增数列，

∴（Tn）min=T1=9﹣12× =1，

∴1＜Tn＜9，

∴m=0，M=9，

∴存在整数m、M，使得m＜Tn＜M对任意正整数n恒成立，且M﹣m=9．

【解析】（1）通过将点P（an ， Sn）代入函数f（x）= x2+ x中，利用Sn= + an与Sn﹣1= + an﹣1（n≥2）作差，进而可知数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，计算即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（2）知Tn＜9，利用作差法可知数列{Tn}是单调递增数列，进而计算可得结论．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．