Question

【题目】已知圆C的方程：x2+y2﹣4x﹣6y+m=0，若圆C与直线a：x+2y﹣3=0相交于M、N两点，且|MN|=2 ．
（1）求m的值；
（2）是否存在直线l：x﹣y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，若存在，求出c的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方为（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m．

∵此方程表示圆，

∴13﹣m＞0，即m＜13．r= ，

圆C与直线a：x+2y﹣3=0相交于M、N两点，且|MN|=2 ．

圆的圆心到直线的距离为：d= = ．

可得 ．

即：5=13﹣m﹣3，解得m=5

（2）解：（x﹣2）2+（y﹣3）2=8．圆的圆心（2，3），半径为2

直线l：x﹣y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为 ，

则圆心C（2，3）到直线l：x﹣y+c=0的距离为： = ，

可得：2 ﹣ ＞ ，

解得﹣2＜c＜4

【解析】（1）由方程x2+y2﹣4x﹣6y+m=0配方为（x﹣2）2+（y﹣3）2=13﹣m．由于此方程表示圆，可得13﹣m＞0，解出m的范围，利用弦心距与半径半弦长的关系，求解m即可．（2）求出圆心与半径，利用半径与圆的圆心到直线的距离的差大于 ，列出不等式求解即可．