Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）= +alnx﹣3x，g（x）=﹣x2+8x，且x=1是函数f（x）的极大值点．
（1）求a的值．
（2）如果函数y=f（x）和函数y=g（x）在区间（b，b+1）上均为增函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数 （x＞0）

所以f′（x）=x+ ﹣3，（x＞0），

又因为x=1是函数f（x）的极大值点．

所以 ，解得a=2

检验：当a=2时， （x＞0）

当x∈（0，1），（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，

所以x=1是函数f（x）的极大值点，a=2符合题意

（2）解：g（x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16

所以函数g（x）的单调递增区间是（4，+∞）

又由（1）可知函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（2，+∞）

所以依题意得 或

解得 b=0或 2≤b≤3

所以实数b的取值范围是{0}∪[2，3]

【解析】（1）因为函数 （x＞0），求出导函数，利用x=1是函数f（x）的极大值点．求出a．然后验证即可．（2）求出函数g（x）的单调递增区间．又由（1）可知函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（2，+∞），列出不等式组，求解b 的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．