【题目】成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列.

参考答案：

【答案】见解析

【解析】

(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.

解得a＝5.

所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.

依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去).

故{bn}的第3项为5，公比为2.

由b3＝b1·22，即5＝b1·22，

解得b1＝.

所以bn＝b1·qn－1＝·2n－1＝5·2n－3，

即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n－3.

(2)证明 由(1)得数列{bn}的前n项和

Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2.

所以S1＋＝，＝＝2.

因此是以为首项，2为公比的等比数列.

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