Question

【题目】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点.求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ.

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

Answer 1

【答案】（1）见解析(2) 见解析

【解析】试题分析：（1）只需利用三角形中位线定理证明直线BC1平行于平面EFPQ内一条直线FP即可；

（2）只需证明直线AC1垂直于平面PQMN内两条相交直线MN，PN即可。

试题解析：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，

因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD，BD平面ABCD，可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面ACC1.

而AC1平面ACC1，所以BD⊥AC1.

因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，

所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN=N，所以直线AC1⊥平面PQMN.

点晴：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。