Question

【题目】平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．
（1）求直线l的极坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

【答案】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x
∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，
因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；
（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0
∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，
∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．
【解析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；
（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．