Question

【题目】已知函数 ( 为实常数).
（1）若 ， ，求 的单调区间；
（2）若 ，且 ，求函数 在 上的最小值及相应的 值；
（3）设 ，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）解： 时， ，

定义域为 ，

在 上， ，当 时， ；当 时，

所以，函数 的单调增区间为 ；单调减区间为

（2）解：因为 ，所以 ， ， ，

（Ⅰ）若 ， 在 上非负（仅当 时， ），

故函数 在 上是增函数，此时

（Ⅱ）若 ， ，

当 时， ，

当 时， ，此时 是减函数；

当 时， ，此时 是增函数，

故

（3）解： ，

不等式 ，即 可化为 ．

因为 ， 所以 且等号不能同时取，

所以 ，即 ，因而 （ ）

令 （ ），又 ，

当 时， ， ，

从而 （仅当 时取等号），所以 在 上为增函数，

故 的最小值为 ，所以实数 的取值范围是

【解析】(1)首先求出函数的导函数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间即可。(2)求出函数的导函数通过讨论a的取值范围求出函数的单调区间进而求出函数的最小值即可。(3)根据题意把问题转化为（ x ∈ [ 1 , e ] ）构造函数g(x)，利用该函数的单调性即可求出a 的取值范围。
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．