Question

【题目】已知定义域为R的偶函数f（x）满足对于任意实数x，都有f（1+x）=f（1﹣x），且当0≤x≤1时，f（x）=3x+1 ．
（1）求证：函数f（x）是周期函数；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：对任意实数x都有

f（x+2）=f[1+（1+x）]=f[1﹣（1+x）]=f（﹣x），

由于f（x）为偶函数，f（﹣x）=f（x）

∴f（x+2）=f（x）

∴函数f（x）是以2为周期的周期函数

（2）解：当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]

则f（x）=f（﹣x）=f（2﹣x）=32﹣x+1=33﹣x，

当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]

则f（x）=f（x﹣2）=3x﹣2+1=3x﹣1，

综上，f（x）=

【解析】把x+2拆成1+（x+1），代入f（1+x）=f（1﹣x），再利用偶函数的性质f（﹣x）=f（x）推导周期．（2）利用第（1）问中函数的周期及奇偶性过度到已知区间上函数的表达式求解函数的解析式．