Question

【题目】已知函数f（x）= （m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数 在（0，+∞）上为增函数，

得到﹣2m2+m+3＞0

解得 ，又因为m∈Z，

所以m=0或1．

又因为函数f（x）是偶函数

当m=0时，f（x）=x3，不满足f（x）为偶函数；

当m=1时，f（x）=x2，满足f（x）为偶函数；

所以f（x）=x2

（2）解： ，令h（x）=x2﹣ax，

由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）

∵g（x）在[2，3]上有定义，

∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上为增函数．

当1＜a＜2时，g（x）max=g（3）=loga（9﹣3a）=2，

因为1＜a＜2，所以 ．

当0＜a＜1时，g（x）max=g（2）=loga（4﹣2a）=2，

∴a2+2a﹣4=0，解得 ，

∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，

综上，存在实数 ，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2

【解析】（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=loga[f（x）﹣ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g（x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．
【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法和奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．