Question

【题目】已知数列和满足：， ，，其中.

（1）求数列和的通项公式；

（2）记数列的前项和为，问是否存在正整数，使得成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在正整数，使得成立，且的最小值为3

【解析】试题分析：（1） （）中n用n-1代，得 ，两式作差，可求得，要检验n=1时。（2）通过待定系数法可求得，再由，得：，可知{}是等比数列，求得。另由错位相减法可求得前n项和,代入，即：

化简得：，由于f(m)=是单调递增函数，所以采用逐个检验法可求解。

试题解析：（1）由 （）①

得：当时，，故

当时， ②

①－②得：（）

∴

又上式对也成立

∴

由变形得：

由，得：

∴，故

（2）由（1）知：③

④

③－④得：

∴

假设存在正整数，使得，即：

化简得：

由指数函数与一次函数的单调性知，是关于的增函数

又，

∴当时，恒有

∴存在正整数，使得成立，且的最小值为3.