Question

【题目】已知抛物线： 的焦点为，过点的直线与相交于、两点，点关于轴的对称点为．

（Ⅰ）判断点是否在直线上，并给出证明；

（Ⅱ）设，求的内切圆的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）

【解析】本题主要考查抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、对称性、圆的方程、平面向量的数量积，以及考查逻辑思维能力、运算能力、分析与解决问题的综合能力，同时考查方程的思想、数形结合的思想.

设， ， ， 的方程为.

（Ⅰ）将代人并整理得

，

从而

直线的方程为

，

即

令

所以点在直线上

（Ⅱ）由①知，

因为，

故，

解得

所以的方程为

又由①知

故直线BD的斜率，

因而直线BD的方程为

因为KF为的平分线，故可设圆心， 到及BD的距离分别为.

由得，或（舍去），

故圆M的半径.

所以圆M的方程为.