Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ， 周长为 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 是椭圆 上第一象限内的一个点，直线 过点 且与直线 平行，直线 且 与椭圆 交于 两点，与 交于点 ，是否存在常数 ，使 .若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知 ， ，
又 ，∴ ， ，
∴椭圆 的方程为 .
（2）解：由 得 ，∴ ，
又 ， ， ，
∴ 的方程为 ，可设 方程为 ，
由 得 ，
由 得 ， ， ，
设 ， ，则 ， ，
由弦长公式： ，
同理， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴存在常数 ，使
【解析】（1）考查了椭圆的几何性质与标准方程。
（2）考查了椭圆的综合应用、弦长公式。