Question

【题目】已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且f（x）＞﹣x的解集为{x|1＜x＜2}，方程f（x）+2a=0有两相等实根，求f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】解：设f（x）=ax2+bx+c，由f（x）＞﹣x，可得ax2+（b+1）x+c＞0，∵f（x）＞﹣x的解集为{x|1＜x＜2}，
∴ ，解得 ，
∴f（x）=ax2﹣（3a+1）x+2a．
∵f（x）+2a=0，即ax2﹣（3a+1）x+4a=0有两相等实根，
∴△=（3a+1）2﹣16a2=0，解得a=1舍去或 ．④
由①②③④得： ， ， ．
∴
【解析】设f（x）=ax2+bx+c，由f（x）＞﹣x，可得ax2+（b+1）x+c＞0，由f（x）＞﹣x的解集为{x|1＜x＜2}，列出不等式组，求解即可得a，b，c的关系式，再由f（x）+2a=0求出a的值，结合a，b，c的关系式即可得答案．
【考点精析】掌握函数的定义域及其求法是解答本题的根本，需要知道求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．