Question

【题目】设函数，其中，且.

（1）求值；

（2）若，为自然对数的底数，求证：当时，；

（3）若函数为上的单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）依题意.……………2分

（2）记，则，

设,则当时,因此函数在上是单调增函数，且，

所以由零点存在定理知，在上存在唯一的零点,……………5分

令得，

列表：

	↘	极小值	↗

所以，故……………8分

（3）依题意，，记.

当时，

①若为上的单调增函数，则，即在上恒成立

因为为上的单调增函数

所以，从而，舍去. ……………10分

②若为上的单调减函数，则，即在上恒成立

因为，

所以在上不恒成立，舍去. ……………12分

当时，

①若为上的单调增函数，则，即在上恒成立

由得，

列表：

	+	0	-
	↗	极大值	↘

所以

所以，即，故……………14分

②若为上的单调减函数，则，即在上恒成立

由①知，当时，；当，

所以，不成立，舍去

综上，……………16分

备注：由函数图象能得出若单调必递增（因为图象交点左侧y小于0，右侧y大于0），可减少对的讨论.