Question

【题目】已知函数 是偶函数，g（x）=t2x+4，
（1）求a的值；
（2）当t=﹣2时，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是偶函数，得f（x）=f（﹣x），即 ，

化简得22ax=4x，故a=1

（2）解：f（x）＜g（x）即 ，亦即34x﹣42x+1＜0，

所以 ，即 ，

所以不等式f（x）＜g（x）的解集为

（3）解：因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，

所以f（x）＞g（x），即 ，得 ，

∵ ，∴t＜﹣3；

故实数t的取值范围为：t＜﹣3

【解析】（1）由偶函数的定义知f（x）=f（﹣x），化简即可求得a值；（2）对f（x）＜g（x）进行等价变形可化为关于2x的二次不等式，解得2x的范围，进而可得x的范围；（3）函数f（x）的图象总在g（x）的图象上方，等价于f（x）＞g（x）恒成立，分离出t后转化为求函数的最值解决；
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和复合函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”才能正确解答此题．