Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1） 当时，，求导，由求出切线斜率及点，即可求出切线方程；（2）由在定义域区间上恒成立得，利用基本不等式求出函数的最大值，即可求出的取值范围；（3）构造函数，由在区间上，函数至少存在一点使，即由在区间上，求出的范围即可.

试题解析：已知函数.

（1），，

，， 故切线方程为：.

（2），由在定义域内为增函数，所以在上恒成立，∴即，对恒成立，设，，

易知，在上单调递增，在上单调递减，则，

∴，即.

（3）设函数，，

则原问题在上至少存在一点，使得

，

当时，，则在上单调递增，，舍；

当时，，

∵，∴，，，则，舍；当时，，

则在上单调递增，，整理得，

综上，.