Question

【题目】已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.

(Ⅰ) 求的方程；

(Ⅱ) 点,点（与不重合）在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证： （其中为坐标原点）.

Answer 1

【答案】（I）;(Ⅱ) 见解析.

【解析】试题分析：（I）原点在圆上，抛物线准线与圆相切，可得三者之间的关系，进而求出的方程；(Ⅱ) 设， ， ，利用导数求得两切线方程，利用根与系数关系可证，即证两角相等．

试题解析：（I）解法一：因为圆的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为，

故，

因为圆过原点，所以，所以，

又，所以，

因为，所以，所以抛物线方程．

解法二：因为圆的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，

圆必过抛物线的焦点，

又圆过原点，所以，

又圆的半径为3，所以，又，

又，得，所以．所以抛物线方程．

解法三：因为圆与抛物线准线相切，所以，

且圆过又圆过原点，故，可得，

解得，所以抛物线方程

(Ⅱ) 解法一：设， ， ， 方程为，所以， 5分

求得抛物线在点处的切线的斜率，所以切线方程为： ，

即，化简得，

又因过点，故可得， ，

即，同理可得，

所以为方程的两根，所以， ，

因为，所以，

化简 ．

所以．

解法二：依题意设点，设过点的切线为，所以，

所以，所以，即，

不妨设切线的斜率为，点， ，

所以， ，又，所以，所以，

所以， ，即点，同理点，

因为，所以，同理，

所以 ，

所以．