Question

【题目】已知⊙C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（1）求证：对任意m∈R，直线l与⊙C恒有两个交点；
（2）求直线l被⊙C截得的线段的最短长度，及此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：

（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ 得x=3，y=1，

故l恒过定点A（3，1）；

又圆心C（1，2），

∴|AC|= ＜5（半径）

∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交

（2）解：∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，

∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，

∵kAC=﹣ ，

∴直线l的斜率kl=2，

∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0

【解析】（1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R转化为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，利用 即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R= 比较，判断l与圆的位置关系；（2）弦长最小时，l⊥AC，由kAC=﹣ 直线l的斜率，从而由点斜式可求得l的方程．