Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点， 为的中点.

（1）求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，若的中点为，求的长.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）求出曲线C1的直角坐标方程为，设点N（x′，y′），Q（x，y），由中点坐标公式得，由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程．（2）的坐标为，设的参数方程为，（ 为参数）代入曲线的直角坐标方程得，根据韦达定理，利用t的参数意义得

即可得解.

试题解析：

（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.

设点， ，由中点坐标公式得，

代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.

（2）的坐标为，设的参数方程为，（ 为参数）代入曲线的直角坐标方程得： ，

设点对应的参数分别为，

则， ， .