Question

【题目】已知函数.

（1）若是的导函数，讨论的单调性；

（2）若（是自然对数的底数），求证：.

Answer 1

【答案】（1）①当时，在上是增函数；②当时，在上是增函数；在上是减函数。（2）证明见解析。

【解析】

（1）求出，得，然后求出导函数，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数g增区间，g求得的范围，可得函数g的减区间；（2）因为，令，再次求导可证明在区间上有唯一零点，在区间上，是减函数，在区间上，是增函数，故当时，取得最小值，只需证明即可.

（1）因为，所以，

，

①当时，，在上是增函数；

②当时，由得，

所以在上是增函数；在上是减函数；

（2）因为，令，则，

因为，所以，

即在是增函数，

下面证明在区间上有唯一零点，

因为，，

又因为，所以，，

由零点存在定理可知，在区间上有唯一零点，

在区间上，，是减函数，

在区间上，，是增函数，

故当时，取得最小值，

因为，所以，

所以 ，

因为，所以，

所以，.