Question

【题目】如图，四棱锥中， ，侧面为等边三角形， ， .

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求与平面所成的角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由问题，可根据线面垂直判定定理的条件要求，从题目条件去寻相关的信息，先证线线垂直，即，从而问题可得解；（Ⅱ）要求直线与平面所成角，一般步骤是先根据图形特点作出所求的线面角，接着将该所在三角形的其他要素（包括角、边或是三角形的形状等）算出来，再三角形的性质或是正弦定理、余弦定理来进行运算，从问题得于解决（类似问题也可以考虑采用坐标法来解决）.

试题解析：（Ⅰ）取的中点E，连接，

则四边形为矩形，

所以，

所以，

因为侧面为等边三角形， ，

所以，且，

又因为，

所以，

所以.

又，

所以平面.

（Ⅱ）

过点作⊥于点，

因为，

所以平面.

又平面，

由平面与平面垂直的性质，

知平面，

在中，由，

得，

所以.

过点作平面于，连接，

则即为与平面所成的角，

因为平面，

所以平面，

又平面，

所以.

在中，由，

求得.

在中， ，

所以，

由，

得，

即，

解得，

所以，

故与平面所成角的正弦值为.