《2025年绩优学案七年级数学上册北师大版》

17. (10分)如图3-3中,图①是一个三角形,分别连接这个三角形三边的中点得到图②；再分别连接图②中间小三角形三边的中点,得到图③。
(1) 在图①、图②、图③中分别有多少个三角形？
(2) 按上面的方法继续下去,第$n$个图形中有多少个三角形？
(3) 在第$n$个图形中,可能形成2024个三角形吗？说明理由。

答案： 解:
(1)1,5,9。
(2)1+4(n-1)=4n-3。
(3)假定在第n个图形中可形成2024个三角形,则4n-3=2024,n=2027/4,不是整数,所以n不存在,即不可能形成2024个三角形。

18. (10分)如图3-4是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形,第1个图中有4个三角形,第2个图中有7个三角形,第3个图中有10个三角形……按照此规律排列下去。

(1) 第10个图中有31个三角形；
(2) 第$n$个图中有(3n+1)个三角形；
(3) 能用2024个三角形组成符合上面排列规律的一个图形吗？说明理由。
假定能,则有3n+1=2024。由于3n=2023,2023不能被3整除,即说明不可能用2024个三角形组成符合题中排列规律的一个图形。

答案： 解:观察图形可得第1个图中有4个三角形,即4=3×1+1,第2个图中有7个三角形,即7=3×2+1,第3个图中有10个三角形,即10=3×3+1,……按此规律排列下去,则第10个图中有3×10+1=31个三角形,第n个图中有(3n+1)个三角形。故
(1)31
(2)(3n+1);
(3)假定能,则有3n+1=2024。由于3n=2023,2023不能被3整除,即说明不可能用2024个三角形组成符合题中排列规律的一个图形。