《2025年暑假综合练习河北人民出版社七年级数学冀教版》

18. 利用因式分解计算。
(1) $21×3.14 + 62×3.14 + 17×3.14$； (2) $758^{2}-748^{2}$；
(3) $5×3^{4}+4×3^{4}+9×3^{2}$； (4) $2001^{2}-2001$；
(5) $2001^{2}-4002 + 1$；
(6) $3617×2026 - 3617×2024 + 8×3617$。

答案：
(1) 314；
(2) 15060；
(3) 810；
(4) $4.002×10^{6}$；
(5) $4×10^{6}$；
(6) 36170。

19. 观察下面的等式：
$3^{2}-1^{2}= 8×1$,$5^{2}-3^{2}= 8×2$,$7^{2}-5^{2}= 8×3$,$9^{2}-7^{2}= 8×4$。
(1) 写出$19^{2}-17^{2}$的结果：72；
(2) 将上面的规律归纳出一个一般的结论(用含$n$的等式表示,$n$为正整数)：$(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$；
(3) 请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的。
$\because (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2}$
$=[(2n + 1) + (2n - 1)][(2n + 1) - (2n - 1)]$
$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)$
$=4n×2 = 8n$，
$\therefore$ 结论 $(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$ 正确。

答案： 解：
(1) 72；
(2) $(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$；
(3) $\because (2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2}$
$=[(2n + 1) + (2n - 1)][(2n + 1) - (2n - 1)]$
$=(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1)$
$=4n×2 = 8n$，
$\therefore$ 结论 $(2n + 1)^{2} - (2n - 1)^{2} = 8n$ 正确。