《2025年暑假园地河北美术出版社八年级数学》

2. 已知：如图5，在$\triangle ABC$中，$AB=20$，$AC=12$，$BC=16$，把$\triangle ABC$折叠，使$AB$落在直线$AC$上，求重叠部分（阴影部分）的面积.

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答案： 解：$ \because A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = 12 ^ { 2 } + 16 ^ { 2 } = 400 = A B ^ { 2 } $，
$ \therefore \triangle A B C $ 为直角三角形。
由折叠知 $ A B = A B ^ { \prime } $，
$ \therefore B ^ { \prime } C = A B ^ { \prime } - A C = 20 - 12 = 8 $。
设 $ D C = x $，
$ \therefore B D = B ^ { \prime } D = 16 - x $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle D C B ^ { \prime } $ 中，$ x ^ { 2 } + 8 ^ { 2 } = ( 16 - x ) ^ { 2 } $，
$ \therefore x = 6 $，
$ S _ { \triangle A C D } = \frac { 1 } { 2 } A C \cdot D C = \frac { 1 } { 2 } \times 12 \times 6 = 36 $。

3. 近日，某校举办了一场摄影艺术云讲座，讲座结束后进行了满分为$100$分的摄影知识测评，为了解测评情况，学校在八、九年级分别随机抽取了$10$名学生的成绩（单位：分）进行整理、分析（成绩用$x$表示，共分为四个等级：A. $60≤x＜70$，B. $70≤x＜80$，C. $80≤x＜90$，D. $90≤x≤100$）.下面给出了部分信息：
10名八年级学生的成绩分别为$65$，$79$，$84$，$87$，$87$，$88$，$92$，$95$，$96$，$97$；
10名九年级学生的成绩中C等级包含的所有数据为$86$，$88$，$89$.
|年级|平均数|中位数|众数|
|----|----|----|----|
|八年级|87|87.5|$a$|
|九年级|87|$b$|95|

根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：$m=$20，$a=$87，$b=$88.5.
（2）学校八年级有$1600$名学生参加测评，估计其中测评成绩为D等级的学生人数.
（3）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪个年级学生对摄影知识掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）.

答案： 解：
(1) 20 87 88.5
(2) $ 1600 \times \frac { 4 } { 10 } = 640 $（人），
所以估计测评成绩为 D 等级的人数为 640 人。
(3) 九年级学生对摄影知识掌握较好。
理由如下：九年级学生成绩的中位数比八年级学生成绩的中位数大，九年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数大。（合理即可）