《2025年暑假园地河北美术出版社八年级数学》

2. 已知一次函数 $ y = - 3 x + b $，当 $ x = 3 $ 时，$ y = - 8 $。
(1) 求 $ b $ 的值；
解：把 $ x = 3 $，$ y = - 8 $ 代入 $ y = - 3 x + b $，得
$ - 8 = - 3 × 3 + b $，解得 $ b = $1。
(2) 设该函数图象与 $ x $ 轴的交点为 $ A $，求点 $ A $ 的坐标。
解：由 (1) 知，$ y = - 3 x + 1 $，
令 $ y = 0 $，得 $ - 3 x + 1 = 0 $，解得 $ x = \frac { 1 } { 3 } $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为$\left( \frac { 1 } { 3 }, 0 \right)$。

答案： 解：
(1) 把 $ x = 3 $，$ y = - 8 $ 代入 $ y = - 3 x + b $，得
$ - 8 = - 3 \times 3 + b $，解得 $ b = 1 $。
(2) 由
(1) 知，$ y = - 3 x + 1 $，
令 $ y = 0 $，得 $ - 3 x + 1 = 0 $，解得 $ x = \frac { 1 } { 3 } $，
∴ 点 $ A $ 的坐标为 $ \left( \frac { 1 } { 3 }, 0 \right) $。

3. 如图 8，一张矩形纸片 $ A B C D $ 的宽 $ A B = 6 $，长 $ A D = 10 $，$ E $ 是 $ C D $ 边上一点，现将矩形纸片 $ A B C D $ 沿 $ B E $ 折叠，点 $ C $ 的对应点刚好落在 $ A D $ 边上的点 $ F $ 处，过点 $ F $ 作 $ F G \perp A D $ 于点 $ F $，交 $ B E $ 于点 $ G $，连接 $ C G $。
(1) 判断四边形 $ C E F G $ 的形状，并给出证明；
四边形 $ CEFG $ 为菱形。证明如下：
由折叠的性质可得，$ EF = CE $，$ CG = FG $，
$ \angle CEG = \angle FEG $，
∵ $ FG \perp AD $，四边形 $ ABCD $ 为矩形，
∴ $ \angle AFG = \angle EDF = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ FG // CD $，
∴ $ \angle EGF = \angle CEG $，
∴ $ \angle EGF = \angle FEG $，
∴ $ FG = EF = CE = CG $，
∴ 四边形 $ CEFG $ 为菱形。
(2) 求四边形 $ C E F G $ 的面积。
四边形 $ CEFG $ 的面积为$\frac{20}{3}$。
∵ $ AB = 6 $，$ AD = 10 $，
∴ $ BF = BC = AD = 10 $，$ CD = AB = 6 $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle ABF $ 中，$ AF = \sqrt { BF ^ { 2 } - AB ^ { 2 } } = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 $，
∴ $ DF = AD - AF = 2 $，
设 $ EF = x $，则 $ CE = EF = x $，
∴ $ DE = CD - CE = 6 - x $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle DEF $ 中，$ DE ^ { 2 } + DF ^ { 2 } = EF ^ { 2 } $，
即 $ ( 6 - x ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，
解得 $ x = \frac { 10 } { 3 } $，
∴ $ CE = \frac { 10 } { 3 } $，
∴ 四边形 $ CEFG $ 的面积为
$ CE \cdot DF = \frac { 10 } { 3 } × 2 = \frac { 20 } { 3 } $。

答案： 解：
(1) 四边形 $ CEFG $ 为菱形。证明如下：
由折叠的性质可得，$ EF = CE $，$ CG = FG $，
$ \angle CEG = \angle FEG $，
∵ $ FG \perp AD $，四边形 $ ABCD $ 为矩形，
∴ $ \angle AFG = \angle EDF = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ FG // CD $，
∴ $ \angle EGF = \angle CEG $，
∴ $ \angle EGF = \angle FEG $，
∴ $ FG = EF = CE = CG $，
∴ 四边形 $ CEFG $ 为菱形。
(2)
∵ $ AB = 6 $，$ AD = 10 $，
∴ $ BF = BC = AD = 10 $，$ CD = AB = 6 $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle ABF $ 中，$ AF = \sqrt { BF ^ { 2 } - AB ^ { 2 } } = \sqrt { 10 ^ { 2 } - 6 ^ { 2 } } = 8 $，
∴ $ DF = AD - AF = 2 $，
设 $ EF = x $，则 $ CE = EF = x $，
∴ $ DE = CD - CE = 6 - x $，
在 $ \mathrm { Rt } \triangle DEF $ 中，$ DE ^ { 2 } + DF ^ { 2 } = EF ^ { 2 } $，
即 $ ( 6 - x ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = x ^ { 2 } $，
解得 $ x = \frac { 10 } { 3 } $，
∴ $ CE = \frac { 10 } { 3 } $，
∴ 四边形 $ CEFG $ 的面积为
$ CE \cdot DF = \frac { 10 } { 3 } \times 2 = \frac { 20 } { 3 } $。