答案：B
解析：基本不等式$a+\frac{1}{a}\geq2$成立的条件是$a＞0$，所以$x - 2y＞0$，即$x＞2y$，选B。

答案：B
解析：A.当$x＜0$时，$x+\frac{1}{x}=-\left(-x+\frac{1}{-x}\right)\leq - 2$，不成立；
B.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}-1\geq2\sqrt{(x^{2}+1)\cdot\frac{1}{x^{2}+1}}-1=1$，当且仅当$x^{2}+1=\frac{1}{x^{2}+1}$，即$x = 0$时等号成立，成立；
C.$x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}\geq0$，则$x^{2}+1\geq2x$，不成立；
D.当$x=-2$时，$x^{2}+5x + 6=4-10 + 6=0$，当$x=-3$时，$x^{2}+5x + 6=9-15 + 6=0$，当$-3＜x＜-2$时，$x^{2}+5x + 6＜0$，不成立，选B。

答案：$[9,+\infty)$
解析：因为$a,b$为正数，所以$a + b\geq2\sqrt{ab}$，则$ab=a + b + 3\geq2\sqrt{ab}+3$，令$t=\sqrt{ab}(t＞0)$，则$t^{2}\geq2t + 3$，即$t^{2}-2t - 3\geq0$，解得$t\geq3$，所以$ab=t^{2}\geq9$，取值范围是$[9,+\infty)$。

答案：9
解析：$(x + y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)=1+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}+4=5+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}\geq5 + 2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=5 + 4=9$，当且仅当$\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}$，即$y = 2x$时等号成立，所以最小值为9。

答案：证明：因为$a,b,c$都是正数，所以$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ac}{b}}=2c$，$\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq2\sqrt{\frac{ac}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a$，$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b$，三式相加得$2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)\geq2(a + b + c)$，即$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a + b + c$，当且仅当$a = b = c$时等号成立。

答案：B
解析：因为$0＜a＜b$，所以$\sqrt{ab}＜\frac{a + b}{2}$，$a=\sqrt{a^{2}}＜\sqrt{ab}$，$\frac{a + b}{2}＜\frac{b + b}{2}=b$，所以$a＜\sqrt{ab}＜\frac{a + b}{2}＜b$，选B。

答案：$2ab$，$b$
解析：因为$0＜a＜b$，$a + b=1$，所以$0＜a＜\frac{1}{2}＜b＜1$。$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab=1 - 2ab$，$b-(a^{2}+b^{2})=b - 1 + 2ab=b(1 + 2a)-1$，因为$a＞\frac{1 - b}{b}$（由$a + b=1$得$a=1 - b$，则$b(1 + 2(1 - b))-1=b(3 - 2b)-1=-2b^{2}+3b - 1=-(2b - 1)(b - 1)$，因为$\frac{1}{2}＜b＜1$，所以$2b - 1＞0$，$b - 1＜0$，则$-(2b - 1)(b - 1)＞0$，即$b＞a^{2}+b^{2}$；$a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}=1 - 2ab-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-2ab$，因为$ab＜\left(\frac{a + b}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$，所以$2ab＜\frac{1}{2}$，则$a^{2}+b^{2}＞\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2}-a=\frac{1 - 2a}{2}＞0$（因为$a＜\frac{1}{2}$），所以$\frac{1}{2}＞a$；$a - 2ab=a(1 - 2b)$，因为$b＞\frac{1}{2}$，所以$1 - 2b＜0$，则$a - 2ab＜0$，即$a＜2ab$不成立，$2ab - a=a(2b - 1)$，因为$b＞\frac{1}{2}$，所以$2b - 1＞0$，则$2ab＞a$，综上：$2ab＜a＜\frac{1}{2}＜a^{2}+b^{2}＜b$，最小的是$2ab$，最大的是$b$。

答案：解：由$x + 2y+xy=30$得$x=\frac{30 - 2y}{y + 1}(y＞0)$，则$xy=\frac{y(30 - 2y)}{y + 1}=-2(y + 1)+\frac{32}{y + 1}+28$，令$t=y + 1(t＞1)$，则$xy=-2t+\frac{32}{t}+28\leq - 2\sqrt{2t\cdot\frac{32}{t}}+28=18$，当且仅当$2t=\frac{32}{t}$，即$t = 4$，$y = 3$，$x = 6$时等号成立，又因为$x＞0$，所以$\frac{30 - 2y}{y + 1}＞0$，即$0＜y＜15$，则$xy＞0$，所以$xy$的取值范围是$(0,18]$。

答案：证明：因为$a,b,c$为正实数，所以$a + b\geq2\sqrt{ab}$，$b + c\geq2\sqrt{bc}$，$c + a\geq2\sqrt{ca}$，三式相加得$2(a + b + c)\geq2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$，即$a + b + c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$，因为$a,b,c$不全相等，所以等号不成立，即$a + b + c＞\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$。