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2025年同步解析与测评课时练人民教育出版社高中数学必修第一册人教版
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【例1】(1)多选题 下列说法正确的是（
BC
）
A. $\forall a$，$b\in\mathbf{R}$，$\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$成立
B. 若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且$a\neq b$，则$a + b＞2\sqrt{ab}$
C. $\forall a$，$b\in\mathbf{R}$，$a^{2}+b^{2}\geq2ab$
D. 若$x ＞ 2$，则$x+\frac{1}{x}\geq2$可以取等号
答案：BC
解析：A选项当$a$，$b$为负数时不成立；B选项基本不等式，$a\neq b$取不到等号，正确；C选项$(a - b)^{2}\geq0$变形，正确；D选项$x = 1$时取等号，$x ＞ 2$取不到，错误，故填BC
【例1】(2)若$0 ＜ a ＜ 1$，$0 ＜ b ＜ 1$，且满足$(1 - a)\cdot b＞\frac{1}{4}$，则$a$，$b$的大小关系是（
D
）
A. $a ＞ b$
B. $a\geq b$
C. $a\leq b$
D. $a ＜ b$
答案：D
解析：$(1 - a)b\leq(\frac{1 - a + b}{2})^{2}$，$(1 - a)b＞\frac{1}{4}$，则$(\frac{1 - a + b}{2})^{2}＞\frac{1}{4}$，$1 - a + b ＞ 1$（$1 - a + b ＞ 0$），故$b ＞ a$，选D
1. 若$a$，$b$为正数，且$a + b\leq4$，则（
C
）
A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq1$
B. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2$
C. $ab\leq4$
D. $ab\geq8$
答案：C
解析：$a + b\leq4$，$ab\leq(\frac{a + b}{2})^{2}\leq4$，C正确；$a = b = 2$时$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，A错误；$a = 3$，$b = 1$时$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{4}{3}＜2$，B错误；$a = 1$，$b = 1$时$ab = 1 ＜ 8$，D错误
2. 若$a ＞ b ＞ c$，则$\sqrt{(a - b)(b - c)}$与$\frac{a - c}{2}$的大小关系是
$\sqrt{(a - b)(b - c)}\leq\frac{a - c}{2}$
.
答案：$\sqrt{(a - b)(b - c)}\leq\frac{a - c}{2}$
解析：$(a - b)(b - c)\leq(\frac{(a - b)+(b - c)}{2})^{2}=(\frac{a - c}{2})^{2}$，开方得$\sqrt{(a - b)(b - c)}\leq\frac{a - c}{2}$，当且仅当$a - b = b - c$时取等号
3. 已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$c ＞ 0$，且$abc = 1$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
答案：证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\sqrt{c}$（$abc = 1$则$\frac{1}{ab}=c$），同理$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq2\sqrt{a}$，$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq2\sqrt{b}$，三式相加得$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$，即$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
