同步练习册大象出版社八年级数学人教版
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10.(★★)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=25°,∠C=50°,则∠1的度数为【 】
A.60°
B.70°
C.75°
D.85°
答案：B
解析：在△ABC中，∠ADC=∠A+∠B=35°+25°=60°，在△ADC中，∠1=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-50°=70°，故选B。
11.(★★)(2024·凉山州)如图,在△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是_________.
答案：100°
解析：因为∠ACB=80°，∠BCD=30°，所以∠ACD=∠ACB - ∠BCD=80° - 30°=50°。因为CD是边AB上的高，所以∠ADC=90°，在△ADC中，∠CAD=180° - 90° - 50°=40°。因为AE是∠CAB的平分线，所以∠CAE=∠BAE=∠CAD=40°÷2=20°。在△ABC中，∠ABC=180° - ∠BAC - ∠ACB=180° - 40° - 80°=60°。在△ABE中，∠AEB=180° - ∠BAE - ∠ABC=180° - 20° - 60°=100°。
12.(★★)如图,在△ABC中,∠ABD=24°,∠A=45°,∠ACE=12°.
(1)求∠BFC的度数;
(2)若∠ABC=90°,求证:∠BCF=$\frac{1}{2}$∠CBF.
答案：(1)81°
(2)见解析
解析：(1)∠BDC=∠A+∠ABD=45°+24°=69°，∠BFC=∠BDC+∠ACE=69°+12°=81°。
(2)因为∠ABC=90°，∠ABD=24°，所以∠CBF=90°-24°=66°，∠A=45°，所以∠ACB=45°，∠ACE=12°，所以∠BCF=45°-12°=33°，所以∠BCF=$\frac{1}{2}$∠CBF。
13.(★★★)如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE内部A'处.
(1)猜想∠A,∠1,∠2之间的关系,并证明.
(2)当点A落在四边形BCDE外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请说明理由.若不成立,∠A,∠1,∠2之间又存在什么关系?并证明.
答案：(1) 2∠A=∠1+∠2，证明如下：
根据折叠性质，得
∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∵∠CDE、∠BED都是 ADE的外角，
∴∠CDE=∠A+∠AED，∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠CDE+∠BED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵∠CDE=∠2+∠A'DE=∠2+∠ADE，
∠BED=∠1+∠A'ED=∠1+∠AED，
∴∠2+∠ADE+∠1+∠AED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴2∠A=∠1+∠2；
(2)不成立，2∠A=∠2-∠1，证明如下：
根据折叠性质，得
∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，
∵∠CDE、∠BED都是 ADE的外角，
∴∠CDE=∠A+∠AED，∠BED=∠A+∠ADE，
∴∠CDE+∠BED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∵∠CDE=∠2+∠A'DE=∠2+∠ADE，
∠BED=∠A'ED-∠1=∠AED-∠1，
∴∠2+∠ADE+∠AED-∠1=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴2∠A=∠2-∠1。
