创新课时作业本九年级数学苏科版
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1. 一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式是
$\Delta =b^{2}-4ac$
.
答案：$\Delta =b^{2}-4ac$
2. 关于$x$的方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$，当$b^{2}-4ac＞0$时，方程有
两个不相等的实数根
；当$b^{2}-4ac=0$时，方程有
两个相等的实数根
；当$b^{2}-4ac＜0$时，方程
没有实数根
.
答案：两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根
1. 关于$x$的一元二次方程$4x^{2}-4x+1=0$的根的情况是（
B
）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
答案：B
解析：$\Delta =(-4)^{2}-4×4×1=16 - 16=0$，方程有两个相等的实数根，故选B.
2. 若方程$x^{2}-2x + k=0$有两个实数根，则$k$的取值范围是（
D
）
A. $k＞1$
B. $k=1$
C. $k＜1$
D. $k\leq1$
答案：D
解析：方程有两个实数根，$\Delta =(-2)^{2}-4×1× k\geq0$，即$4 - 4k\geq0$，解得$k\leq1$，故选D.
3. 下列方程没有实数根的是（
A
）
A. $3x^{2}-4x + 2=0$
B. $5x^{2}+3x - 1=0$
C. $(2x^{2}+1)^{2}=4$
D. $\sqrt{2}x^{2}-3x-\sqrt{3}=0$
答案：A
解析：A选项，$\Delta =(-4)^{2}-4×3×2=16 - 24=-8＜0$，无实数根；B选项，$\Delta =3^{2}-4×5×(-1)=9 + 20=29＞0$，有两个不相等实数根；C选项，展开得$4x^{4}+4x^{2}+1 = 4$，即$4x^{4}+4x^{2}-3 = 0$，令$y=x^{2}$，$4y^{2}+4y - 3=0$，$\Delta =16 + 48=64＞0$，有实数根；D选项，$\Delta =(-3)^{2}-4×\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=9 + 4\sqrt{6}＞0$，有两个不相等实数根，故选A.
4. 已知一元二次方程$x^{2}-6x + 5 - k=0$的根的判别式等于4，则这个方程的根为
$x_{1}=4$，$x_{2}=2$
.
答案：$x_{1}=4$，$x_{2}=2$
解析：$\Delta =(-6)^{2}-4×1×(5 - k)=36 - 20 + 4k=16 + 4k$，由题意得$16 + 4k=4$，解得$k=-3$，方程为$x^{2}-6x + 8=0$，因式分解得$(x - 2)(x - 4)=0$，根为$x_{1}=4$，$x_{2}=2$.
5. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2kx + 1 + k^{2}=0$的根的情况是
没有实数根
.
答案：没有实数根
解析：$\Delta =(-2k)^{2}-4×1×(1 + k^{2})=4k^{2}-4 - 4k^{2}=-4＜0$，方程没有实数根.
6. 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{2}-mx + 1=0$. 求证：无论$m$取何值，方程总有实数根.
答案：证明：当$m = 1$时，方程化为$-x + 1=0$，解得$x = 1$，有实数根；当$m≠1$时，$\Delta =(-m)^{2}-4(m - 1)×1=m^{2}-4m + 4=(m - 2)^{2}\geq0$，方程有两个实数根（相等或不相等）.综上，无论$m$取何值，方程总有实数根.
课后巩固
定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$满足$a - b + c=0$，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程. 已知关于$x$的方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（
C
）
A. $b = c$
B. $a = b$
C. $a = c$
D. $a = b = c$
答案：C
解析：由“蝴蝶”方程得$a - b + c=0$，即$b=a + c$.方程有两个相等实数根，$\Delta =b^{2}-4ac=0$，将$b=a + c$代入得$(a + c)^{2}-4ac=0$，即$a^{2}+2ac + c^{2}-4ac=a^{2}-2ac + c^{2}=(a - c)^{2}=0$，所以$a = c$，故选C.
