2025年强基特训营高中数学选择性必修第一册苏教版
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11. (1)已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过点(6,-2)，求直线l的方程。(5分)
答案：解：设直线在y轴上的截距为b，则在x轴上的截距为b+1，方程为$\frac{x}{b+1}+\frac{y}{b}=1$。代入(6,-2)得$\frac{6}{b+1}-\frac{2}{b}=1$，解得$b=1$或$b=2$。直线方程为$\frac{x}{2}+y=1$或$\frac{x}{3}+\frac{y}{2}=1$，即$x+2y-2=0$或$2x+3y-6=0$。
11. (2)求斜率为$-\frac{4}{3}$，且与两坐标轴围成的三角形周长为9的直线方程。(5分)
答案：解：设直线方程为$y=-\frac{4}{3}x+b$，与x轴交点$(\frac{3b}{4},0)$，与y轴交点(0,b)。三角形边长分别为$|\frac{3b}{4}|$，$|b|$，$\sqrt{(\frac{3b}{4})^2+b^2}=\frac{5|b|}{4}$。周长$\frac{3|b|}{4}+|b|+\frac{5|b|}{4}=3|b|=9$，$|b|=3$，$b=\pm3$。直线方程为$y=-\frac{4}{3}x+3$或$y=-\frac{4}{3}x-3$，即$4x+3y-9=0$或$4x+3y+9=0$。
12. 已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0)。
(1)求AB边所在直线的方程；(5分)
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(5分)
(3)求经过AB和AC的中点的直线的方程。(5分)
答案：解：(1)AB斜率$k=\frac{6-4}{-2-0}=-1$，方程$y-4=-1(x-0)$，即$x+y-4=0$。
(2)AC中点D(-4,2)，BD斜率$k=\frac{2-6}{-4-(-2)}=2$，方程$y-6=2(x+2)$，即$2x-y+10=0$。
(3)AB中点(-1,5)，AC中点(-4,2)，斜率$k=\frac{2-5}{-4-(-1)}=1$，方程$y-5=1(x+1)$，即$x-y+6=0$。
13. 已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当$|OA|+|OB|$取得最小值时直线l的方程。(10分)
答案：$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$
解析：设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0,b>0)$，因为直线过点M(2,1)，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$。$|OA|+|OB|=a+b=(a+b)(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=3+\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}$，根据基本不等式，$\frac{2b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{2b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{a}{b}$时取等号，结合$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$，解得$a=2+\sqrt{2}$，$b=1+\sqrt{2}$，故直线方程为$\frac{x}{2+\sqrt{2}}+\frac{y}{1+\sqrt{2}}=1$，化简得$x+\sqrt{2}y-2-\sqrt{2}=0$。
14. 如图所示，已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积最小时直线l的方程。(10分)
答案：解：设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a＞0,b＞0)$，$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$。面积$S=\frac{1}{2}ab$，由$1=\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\geq2\sqrt{\frac{6}{ab}}$，得$ab\geq24$，$S\geq12$，当$\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}$，$a=6$，$b=4$时取等号，方程为$\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1$，即$2x+3y-12=0$。
