Question

【题目】如图，点P,Q分别是边长为4 cm的等边三角形ABC边AB,BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1 cm/s，连接AQ,CP，相交于点M.下面四个结论正确的有________(填序号).①BP=CM; ②△ABQ ≌△CAP ;③∠CMQ的度数不变，始终等于60;④当第s或s时，△PBQ为直角三角形.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由三角形ABC为等边三角形，得到三边相等，且内角为60°，根据题意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ与三角形CAP全等；由全等三角形对应角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形内角和定理即可确定出∠CMQ的度数不变，始终等于60°；分∠QPB与∠PQB为直角两种情况求出t的值，即可作出判断．

BP不一定等于CM，选项①错误；

根据题意得：AP=BQ=t，

∵△ABC为等边三角形，

∴

在△ABQ和△CAP中，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)，选项②正确；

∴∠AQB=∠CPA，

在△APM中,

∵

在△ABQ中,

∴

∴

∴，选项③正确；

若,由，得到PB=2BQ，即4t=2t，

解得：t=；

若,由,得到BQ=2PB,即t=2(4t)，

解得：t=，

综上,当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，选项④正确，

故答案为：②③④