Question

【题目】如图，在中，，是边的中点，以为腰向外作等腰直角三角形，，连接，交于点，交于点，连接.

(1)若，则 ;

(2)求证: ;

(3)若，则 .

Answer 1

【答案】(1) 20°； (2)见解析；(3)18.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案．

(1)∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAC=50°,∠EAC=90°，

∴∠BAE=50°+90°=140°，

∴∠AEB=(180°140°)÷2=20°；

(2)证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAF=∠CAF.

在△BAF和△CAF中, ，

∴△BAF≌△CAF(SAS).

∴∠ABF=∠ACF.

又∵AB=AC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠AEB=∠ACF.

(3)

∵△BAF≌△CAF，

∴BF=CF.

∴∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC.

∴∠CFG=∠EAG=90°.

∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2.

∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠CAE=90°，AC=AE.

∴EC2=AC2+AE2=2AC2=18.

即EF2+BF2=18.

故答案为：18.