Question

【题目】阅读理解：

把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．

（1）请写出一个六位连接数　 　，它　 　（填“能”或“不能”）被13整除．

（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．

（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）能被13整除（3）这样的四位连接数有1919，2525，3131，一共3个

【解析】分析：（1）根据六位连接数的定义可知123123为六位连接数，再将123123进行因数分解，判断得出它能被13整除；

（2）设为六位连接数，将进行因数分解，判断得出它能被13整除；

（3）设为四位连接数，用含x、y的代数式表示M与N，再计算M﹣N，然后将表示为77x+7y+，根据M﹣N的结果能被13整除以及M与N都是1～9之间的整数，求得x与y的值，即可求解．

详解：（1）123123为六位连接数；

∵123123=123×1001=123×13×77，∴123123能被13整除；

（2）任意六位连接数都能被13整除，理由如下：

设为六位连接数．∵=×1001=×13×77，∴能被13整除；

（3）设为四位连接数，则M=1000x+100y+10x+y=1010x+101y，N=3（x+y+x+y）=6x+6y，∴M﹣N=（1010x+101y）﹣（6x+6y）=1004x+95y，∴==77x+7y+．∵M﹣N的结果能被13整除，∴是整数．∵3xspan>+4y取值范围大于3小于63，所以能被13整除的数有13，26，39，52，∴x=1，y=9；x=2，y=5；x=3，y=1；x=8，y=7；x=9，y=3；x=5，y=6；x=6，y=2；

满足条件的四位连接数的3131，2525，6262，9393，8787，5656，1919共7个．